2011-01-05
Petit paradoxe sur la loi des moyennes
On se fait dire souvent qu'il n'y a pas de loi des moyennes. Pas plus tard qu'hier, dans le Globe and Mail, cet article rappelait que « “If I flip a coin and it comes up heads 10 times, people will say it’s likely to change to tails next time,” says Prof. Darke. “But one event does not relate to the next event. It’s always 50/50.” »
Ce n'est pas faux, mais c'est aussi une question de point de vue. Posons la question autrement. Supposons qu'on a tiré à pile ou face trois fois de suite et qu'on a obtenu face trois fois de suite. Les chances de tomber sur face de nouveau sont effectivement d'une sur deux. Toutefois, si on se demande quelles sont les chances d'obtenir face trois autres fois, la réponse sera différente. Les chances seront de 1 sur 8, car il y a huit enchaînements possibles de piles et de faces (PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF). Ce qui veut dire que les chances de ne pas obtenir face trois autres fois — de tomber pile au moins une fois — sont majoritaires (7 sur 8). Si on considère que tomber face correspond, par exemple, à compléter un voyage en avion sans accident trois fois de suite, on comprend que des gens s'inquiètent à l'idée que leur « chance » finisse par changer... (Heureusement, la probabilité intrinsèque qu'un avion de ligne ait un accident majeur est très faible de nos jours, de sorte qu'on peut prendre l'avion très souvent sans avoir à craindre un changement relatif important du risque encouru.) Ce qui marche dans les deux sens. On peut trouver encourageant de croire qu'il n'y a pas de lois des séries et qu'en fait, la régression vers la moyenne joue aussi en notre faveur.
Pourtant, même si les chances d'obtenir face trois fois de suite sont minces, la probabilité reste de 50% à chaque fois...
Ce n'est pas faux, mais c'est aussi une question de point de vue. Posons la question autrement. Supposons qu'on a tiré à pile ou face trois fois de suite et qu'on a obtenu face trois fois de suite. Les chances de tomber sur face de nouveau sont effectivement d'une sur deux. Toutefois, si on se demande quelles sont les chances d'obtenir face trois autres fois, la réponse sera différente. Les chances seront de 1 sur 8, car il y a huit enchaînements possibles de piles et de faces (PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF). Ce qui veut dire que les chances de ne pas obtenir face trois autres fois — de tomber pile au moins une fois — sont majoritaires (7 sur 8). Si on considère que tomber face correspond, par exemple, à compléter un voyage en avion sans accident trois fois de suite, on comprend que des gens s'inquiètent à l'idée que leur « chance » finisse par changer... (Heureusement, la probabilité intrinsèque qu'un avion de ligne ait un accident majeur est très faible de nos jours, de sorte qu'on peut prendre l'avion très souvent sans avoir à craindre un changement relatif important du risque encouru.) Ce qui marche dans les deux sens. On peut trouver encourageant de croire qu'il n'y a pas de lois des séries et qu'en fait, la régression vers la moyenne joue aussi en notre faveur.
Pourtant, même si les chances d'obtenir face trois fois de suite sont minces, la probabilité reste de 50% à chaque fois...
Libellés : Réflexion
